经济学的数学原理:总成本,边际成本,边际收益和市场均衡

经济学当中涉及到大量的数学原理,这篇文章只专注于其中关于成本和收益的一些简单概念,意在从数学的角度阐释下面的问问题:

  • 平均总成本曲线的形状为什么是U行的?
  • 为什么边际成本曲线和平均总成本曲线总是相交于平均总成本最低点?
  • 为什么长期价格等于企业的平均总成本?
  • 为什么竞争企业的边际成本等于价格?
  • 为什么竞争市场中的企业运行在有效规模?

概念

首先让我们厘清关于成本的若干概念:

  • 边际产量:增加的一单位投入所引起的产量增加
  • 边际产量递减:一种投入的边际产量随着投入增加而减少的特征,注意是边际产量而不是总产量。
  • 固定成本(FC):不随着产量而变动的成本。指的是即使企业不生产也要发生的成本。
  • 可变成本(VC):随着产量而变动的成本。
  • 总成本(TC):固定成本加上可变成本。
  • 平均总成本(ATC):总成本除以产量。
  • 边际成本(MC):额外单位产量所引起的总成本的增加。
  • 有效规模:使平均总成本最小的产量。

平均总成本和边际成本

为什么平均总成本是U形的?

  • 总成本中包括固定成本和可变成本:TC = FC + AC。
  • 平均总成本包括平均固定成本和平均可变成本:ATC = AFC + AVC。
  • AFC短期内持续下降,长期因为需要替换原有设施等原因可能回升。
  • AVC持续上升,并且随着边际产量递减的效应而加速上升。
  • ATC 的变化趋势由AFC的下降和AVC的上升哪一个占据主导地位决定。
  • 初始的时候,AFC的下降占主导地位,因此ATC下降。
  • 超过一定均衡数量之后,AVC的上升占据主导地位,因此ATC开始上升。

为什么边际成本曲线和平均总成本曲线在平均总成本曲线的最低点相交?

边际成本 = 总成本变动量/产量变动量,MC = d(TC)/d(Q)
平均总成本 = 总成本/产量,ATC = TC/Q

数学推论过程如下:

假设固定成本 F
可变成本V(x)
ATC = (F + V(x))/x
MC = d(V(x)) / d(x)
ACT 最低点:
d(ACT)/d(x) = d((F + V(x))/x)/d(x) = 0
得到 xd(V(x))/d(x) = F + V(x)

下面举例说明:

假设 TC = Q^2 + 9Q + 5
则 ATC = TC / Q = Q + 9 + 5/Q
    MC = d(TC)/d(Q) = 2Q + 9
令 ATC = MC:Q + 9 + 5/Q = 2Q + 9 得到:Q = 5^(1/2)。
对ATC进行进一步微分:
d(ATC) = d(Q + 9 + 5/Q)) = d(Q + 9 + 5 * Q^(-1)) = 1 - 5 * Q^(-2)
令:1 - 5/Q^2 = 0,Q = 5^(1/2)。
验证了ATC在最低点正式ATC与MC的焦点的理论。

那么如何从直观上理解呢?

  • 当边际成本小于平均成本的时候,平均下降,因为新增加的产出都是以低于平均成本的价格生产的。
  • 当边际成本大于平均成本的时候,平均成本升高,因为新增加的产出都是以高于平均成本的价格生产的。
  • 只有当边际成本等于平均成本的时候,平均总成本才会保持不变,也就是最低点。

从上面的得到的另一个重要推论是:边际成本曲线和边际总成本曲线相交于有效规模。也因此带来两个概念:

  • 规模经济:长期平均总成本随着产量的增加而减少。
  • 规模不经济:长期平均总成本随着产量的增加而增加。

需要知道,导致规模经济的原因是生产水平的提高和工人的专业化,而规模不经济的产生原因主要在于大型组织中存在的协调问题。

边际收益

为什么竞争企业使得价格等于边际成本?

上面的问题等效于:为什么利润最大化的生产水平时,边际收益和边际成本正好相等?

  • 如果边际收益大于边际成本,则企业会提高生产以获得更多的利润
  • 如果边际收益小于边际成本,则企业会降低生产以避免因此造成的损失,总利润也会增加。

要注意到的是,在竞争市场的假设中,企业的边际收益就是市场价格,因此企业利润最大化的生产水平正是其边际成本等于市场价格的水平。注意这里的变量值包括边际收益,也就是市场价格和边际成本,并不包含平均总成本。

为什么竞争市场长期价格等于平均总成本?

我们知道,企业的供给曲线由平均可变成本决定,而长期供给曲线由平均总成本决定。利润 = (P – ATC) X Q。设想下面的两种情况:

  • 如果价格大于平均总成本,则变得有利可图,就会有企业进入市场,从而导致价格下降,利润下降。
  • 如果价格小于平均总成本,则会由企业面临亏损退出,从而导致产量下降,价格上升,利润提高。

这两种趋势的平衡发生在当利润为零的时候。但是需要注意,这里的利润是经济利润,而不是会计利润。经济利润中包含了机会成本,因此经济利润为零的时候,会计利润仍然可能是正的。

竞争市场均衡推论

前面我们得到这样几条结论:

  • 边际成本和长期总成本相交与长期总成本的最低点。
  • 企业在长期总成本最低的时候是有效规模。
  • 竞争的企业使得价格等于边际成本。
  • 竞争的市场使得价格等于平均总成本。

所以我们可以得到一个重要推论

在有自由进入与退出时,竞争市场长期均衡一定是企业在其有效规模时运行。

引用

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